Übertragungsleitungstheorie: Beobachtung des Reflexionskoeffizienten und der stehenden Welle

Jul 29, 2023

Verschiedene Wellenarten in der Natur verhalten sich grundsätzlich gleich. Wie eine Stimme, die von einer Klippe widerhallt, werden elektrische Wellen reflektiert, wenn sie auf eine Änderung der Impedanz des Mediums treffen, in dem sie sich bewegen. Wellenreflexion kann zu einem interessanten Phänomen führen, das als stehende Welle bezeichnet wird. Stehende Wellen sind für die Klangerzeugung der meisten Musikinstrumente von wesentlicher Bedeutung. Ohne die Vorhersagbarkeit und Verstärkungseffekte der stehenden Wellen würden beispielsweise Saiteninstrumente nicht funktionieren.

Beim HF-Design sind stehende Wellen jedoch unerwünscht, wenn wir Leistung von einem Block zum nächsten in der Signalkette übertragen wollen. Tatsächlich können stehende Wellen die Leistung verschiedener HF- und Mikrowellensysteme beeinträchtigen, von schalltoten Kammern bis hin zu alltäglichen Geräten wie Mikrowellenherden.

Obwohl die Konzepte der Wellenausbreitung und -reflexion nicht besonders kompliziert sind, könnten sie zunächst etwas verwirrend sein. Der beste Weg, um zu veranschaulichen, wie sich die Wellen ausbreiten und von einer Diskontinuität reflektiert werden, besteht darin, die Wellengleichungen für verschiedene Konfigurationen darzustellen.

In diesem Artikel leiten wir zunächst die erforderlichen Gleichungen ab und verwenden sie, um das Phänomen der stehenden Welle anhand mehrerer Beispielwellenformen zu erklären.

Lassen Sie uns zunächst unsere Gleichungen herleiten. Ich weiß, es ist langweilig, aber sie helfen uns wirklich zu verstehen, wie sich Wellen auf einer Übertragungsleitung ausbreiten und miteinander interagieren. Im vorherigen Artikel dieser Reihe haben wir die sinusförmige stationäre Reaktion einer Übertragungsleitung untersucht und die Spannungs- und Stromgleichungen abgeleitet. Wenn man vs(t) = Vscos(ωt) auf eine Leitung anwendet, sind die Spannungs- und Stromwellen:

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Wo:

Diese Gleichungen entsprechen der in Abbildung 1(a) gezeigten Konfiguration, bei der die positive x-Achsenrichtung von der Quelle zur Last gewählt ist. Wenn wir diese Wellen mit ihren Zeigern darstellen, sind die vorwärtslaufende (oder einfallende) Welle und die rückwärtslaufende (oder reflektierte) Spannungswelle Ae-jβx bzw. Bejβx, wie in Abbildung 1(a) dargestellt.

Bei Problemen mit Übertragungsleitungen ist es in der Regel bequemer, die positive Achsenrichtung von der Last zur Quelle zu wählen, wie in Abbildung 1(b) dargestellt. Um die neuen Gleichungen zu finden, müssen wir x in den ursprünglichen Gleichungen durch ld ersetzen. Wie in der neuen Variablen d ausgedrückt, wird die vorwärtslaufende Welle zu:

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Wobei A1 = Ae-jβl eine neue Konstante ist. Von hier aus können Sie überprüfen, dass die reflektierte Welle im neuen Koordinatensystem B1e-jβd ist, wobei B1 = Bejβl. Daher sind die gesamten Spannungs- und Stromzeiger in den Gleichungen 1 und 2 dargestellt.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Diese Gleichungen erleichtern die Untersuchung des Lasteffekts auf die Wellenreflexion, da in diesem Fall die Last bei d = 0 liegt, was die Gleichungen vereinfacht. Unter Annahme von d = 0 ergeben sich am Lastende die folgenden Gleichungen, wie in den Gleichungen 3 und 4 dargestellt.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Betrachten wir beispielsweise den Fall, dass die Leitung in einem offenen Stromkreis endet. Bei offenem Ausgang (ZL = ∞) ist der Ausgangsstrom offensichtlich Null. Aus Gleichung 4 ergibt sich A1 = B1 und somit beträgt die Gesamtspannung V(d = 0) = 2A1.

Daher ist bei einer Leitung mit offenem Stromkreis die reflektierte Spannung gleich der einfallenden Spannung am Ausgang, und die Gesamtspannung an diesem Punkt ist doppelt so hoch wie die einfallende Spannung. In ähnlicher Weise können wir die Gleichungen 3 und 4 verwenden, um das Verhältnis der reflektierten Welle zur einfallenden Welle für eine beliebige Lastimpedanz ZL zu ermitteln. Dieses Verhältnis ist ein wichtiger Parameter, der als Reflexionskoeffizient bekannt ist und auf den wir gleich eingehen werden.

Mithilfe der Gleichungen 1 und 2 können wir das Verhältnis von Spannung zu Strom (dh die Eingangsimpedanz der Übertragungsleitung) an verschiedenen Punkten entlang der Leitung ermitteln. Dies führt zu Gleichung 5.

\[Z_{in}(d) = \frac{V(d)}{I(d)}=Z_0 \frac{A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}}{A_1e ^{j \beta d}-B_1 e^{-j \beta d}}\]

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Leitungsimpedanz am Lastende der Leitung (d = 0) gleich der Lastimpedanz ZL ist, erhalten wir:

\[Z_L = Z_0 \frac{A_1+B_1}{A_1-B_1}\]

Mit ein wenig Algebra liefert uns die obige Gleichung das Verhältnis der reflektierten Spannungswelle zur einfallenden Spannungswelle (B1/A1), das in Gleichung 6 als Reflexionskoeffizient Γ definiert ist.

\[\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}\]

Die obige Diskussion zeigt, dass für eine abgeschlossene Leitung eine eindeutige Beziehung zwischen den einfallenden und reflektierten Wellen besteht. Beachten Sie, dass ein Reflexionskoeffizient im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist und sowohl Größen- als auch Phaseninformationen von Γ wichtig sind. Für die Leistungsübertragung versuchen wir eine angepasste Last (ZL = Z0) zu haben, was zu Γ = 0 führt. Unter dieser Bedingung wird eine am Eingang anliegende Welle vollständig von der Last absorbiert und es findet keine Reflexion statt. Es ist aufschlussreich, hier zwei weitere Sonderfälle zu betrachten: eine Leerlaufleitung und eine Kurzschlussleitung, auf die wir gleich eingehen werden.

Obwohl die Konzepte der Wellenausbreitung und -reflexion nicht grundsätzlich kompliziert sind, könnten sie zunächst verwirrend sein. Der beste Weg, um zu veranschaulichen, wie sich die Wellen ausbreiten und von einer Diskontinuität reflektiert werden, besteht darin, die Gleichungen darzustellen, die wir oben entwickelt haben. Erwähnenswert ist auch, dass es viele Online-Simulatoren gibt, die Ihnen dabei helfen können, ein besseres Verständnis der Konzepte der Wellenausbreitung zu entwickeln.

Als nächstes gehen wir die Kurzschlussleitungen durch. Bei einem Kurzschluss sollte die Gesamtausgangsspannung jederzeit Null sein. Zusätzlich gilt aus Gleichung 6 Γ = -1. Die einfallende Spannungswelle ist gegeben durch:

\[v_i (d,t)=Real \text{ } Teil \text{ }von \Big (A_1 e^{j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos(\omega t+ \beta d)\]

Die obere Kurve in Abbildung 2 zeigt die Darstellung dieser Gleichung zu drei verschiedenen Zeitpunkten t1, t2 und t3, wobei t1 < t2 < t3.

Die Aufschlüsselung der obigen Kurven ergibt Folgendes:

Beachten Sie, wie sich die einfallende Welle im Laufe der Zeit allmählich in Richtung der Last (bei d = 0) bewegt. Die mittlere Kurve in der obigen Abbildung zeigt die reflektierte Spannung, die sich von der Last wegbewegt. Die Gleichung der reflektierten Spannung lautet:

\[v_r (d,t)=Real \text{ } Teil \text{ }von \Big (\Gamma A_1 e^{-j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos( \omega t - \beta d)\]

Wobei Γ auf -1 gesetzt ist, um den Kurzschluss zu berücksichtigen. Die Gesamtspannung ist die Summe der einfallenden und reflektierten Spannungen, die in der unteren Kurve angegeben sind. Die Durchlassspannung schwankt an allen Punkten entlang der Leitung, einschließlich des Lastendes der Leitung, zwischen ihrem Minimal- und Maximalwert. Allerdings nimmt die reflektierte Spannung den entgegengesetzten Wert der einfallenden Spannung an, so dass die Gesamtspannung am Lastende immer Null ist.

Die Gesamtspannungswelle weist eine interessante Eigenschaft auf: Sie steht still und bewegt sich im Gegensatz zu ihren Teilwellen nicht in die eine oder andere Richtung. Beispielsweise verschieben sich die Spannungsmaximum- und -nullpunkte zeitlich nicht. Um dies besser zu veranschaulichen, ist in Abbildung 3 die Gesamtspannung für 36 verschiedene Zeitpunkte aufgetragen.

Wie man sieht, sind die Nulldurchgänge (Knoten) und die Positionen maximaler Amplitude (Bäuche) einige feste Positionen entlang der Linie. Da sich die Welle in keine Richtung ausbreitet, spricht man von einer stehenden Welle.

Für eine offene Leitung (ZL = ∞) ergibt Gleichung 6 Γ = 1. In diesem Fall sind Betrag und Phase der reflektierten Spannung gleich der einfallenden Spannung. Die obere und mittlere Kurve in Abbildung 4 zeigen jeweils die einfallenden und reflektierten Spannungswellen an einer offenen Stromkreisleitung zu drei verschiedenen Zeitpunkten.

Beachten Sie, dass sowohl die einfallende als auch die reflektierte Welle bei d = 0 den gleichen Wert haben. Daher ist die Gesamtspannung (untere Kurve) doppelt so hoch wie die einfallende Spannung am Lastende. Da Γ = 1, hat der reflektierte Strom Ir auch die gleiche Größe und Phase wie der einfallende Strom Ii. Der Gesamtstrom am Lastende beträgt jedoch Ii - Ir = 0, was keine große Überraschung ist, da es sich bei der Last um einen offenen Stromkreis handelt.

Darüber hinaus können wir wiederum beobachten, dass die Gesamtspannung eine stehende Welle ist. Dies lässt sich am besten in Abbildung 5 veranschaulichen, in der die gesamte Spannungswelle für 36 verschiedene Zeitpunkte dargestellt ist.

Als nächstes verwenden wir unsere Gleichungen, um eine abgeschlossene Linie mit Γ = 0,5 zu untersuchen. Die einfallenden und reflektierten Spannungswellen zu einem beliebigen Zeitpunkt sind in Abbildung 6 dargestellt.

Diese beiden Wellen breiten sich in entgegengesetzte Richtungen aus. Sie sollten sich vorstellen können, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt und an einer bestimmten Position entlang der Leitung die Spitzen der beiden Wellen zusammenfallen und den Maximalwert der gesamten Spannungswelle ergeben. Dies ist in Abbildung 7 dargestellt.

Auch zu einem anderen Zeitpunkt wird eine bestimmte Position entlang der Linie den Höhepunkt der größeren Welle und das Minimum der kleineren Welle „sehen“, wie in Abbildung 8 dargestellt.

An diesen Punkten ist die Amplitude der gesamten Spannungswelle minimal. In unserem Beispiel haben die vorwärts gerichtete und die reflektierte Welle eine Amplitude von 1 bzw. 0,5. Daher hat die gesamte Spannungswelle eine minimale Amplitude von 1 – 0,5 = 0,5. Um die Spannungsamplitude an verschiedenen Punkten entlang der Leitung besser beobachten zu können, ist in Abbildung 9 die gesamte Spannungswelle an 36 verschiedenen Stellen dargestellt.

Diese Abbildung gibt Ihnen eine Vorstellung von der Schwankungsamplitude an verschiedenen Punkten der Linie. Beachten Sie, dass Punkte wie d = 0,1881 m zwar zwischen ±1,5 V schwanken, es aber auch andere Punkte gibt. Beispielsweise ist d = 0,1568 m, was eine viel kleinere Amplitude hat und zwischen ±0,5 V schwankt.

Eine Frage, die Sie sich stellen könnten, ist: Ist die gesamte Welle unterwegs oder steht sie still? Abbildung 10 zeigt eine kleinere Anzahl der Gesamtspannungsdiagramme zu einigen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten (t1 < t2 < ... < t6), um diese Frage zu beantworten.

Die Abbildung zeigt, dass sich die Welle im Laufe der Zeit auf die Last zubewegt. Beachten Sie, dass die Amplitude der einfallenden und reflektierten Wellen zwar konstant ist, die Amplitude der kombinierten Spannung jedoch im Laufe der Zeit ansteigt und abfällt.

Fassen wir unsere Beobachtungen zusammen:

Vor diesem Hintergrund ist es für uns wichtig zu wissen, an welchem ​​Punkt in diesem Spektrum unsere Übertragungsleitung funktioniert. Mit dem Parameter VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), der als Verhältnis der maximalen Amplitude der Welle zu ihrer minimalen Amplitude definiert ist, können wir charakterisieren, wie nahe wir einer stehenden Welle kommen. Bei Totalreflexion ist das VSWR unendlich; Für eine angepasste Last beträgt das VSWR 1.

In anderen Fällen liegt das VSWR irgendwo zwischen diesen beiden Extremwerten. Das VSWR bietet uns eine alternative Möglichkeit, das Ausmaß der Reflexion zu charakterisieren. Dies wird im nächsten Artikel ausführlicher besprochen.

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